Znanstveni kolokviji

Promatrat ćemo linearni vibracijski sistem s prigušenjem, koji je opisan sustavom ODJ Mx''+Dx'+Kx=0, x(0)=x_0 i x'(0)=x'_0, gdje su M, D i K redom matrice mase, prigušenja i krutosti.

Pri proučavanju takvih sistema prirodno se nameće sljedeće važno pitanje: Za zadane matrice M i K odredite matricu D, koja će osigurati ''optimalan način smirivanja'' promatranog mehaničkog sistema, odnosno koja će osigurati iščezavanje nepoželjnih oscilaacija na optimalan način.

Može se pokazati da je navedeni problem ekvivalentan problemu minimizacije traga rješeenja Ljapunovljeve jednadžbe; tj., trag (X)=min, gdje je X rješenje Ljapunovljeve jednadžbe AX+XA^t=-GG^t. U gornjoj jednadžbi matrica A je 2n-puta-2n realna matrica dobivena pomoću matrica M, D i K, a G je matrica punog ranga stupaca za koju u pravilu vrijedi rank (G)<

Dat ćemo pregled rezultata dobivenih u posljednjih nekoliko godina, vezanih uz navedeni optimizacijski problem, kao i neke rezultate koji se odnose na srodne probleme koji se prirodno pojavljuju kod proučavanja linearnih dinamičkih sistema. Tako ćemo pokazati novu ocjenu pada svojstvenih vrijednosti rješenja Ljapunovljeve jednadžbe, koja uključuje utjecaj desne strane na taj pad. Također ćemo prikazati efikasni algoritam za izračunavanje traga rješenja, baziranog na Cholesky ADI metodi malog ranga, za koju smo uveli novu heuristiku izbora ADI parametara. Posljednji rezultati o optimalnom prigušenju su bazirani na neegzaktnoj minimizaciji traga rrješenja projicirane Ljapunovljeve jednadžbe koristeći Arnoldijevu metodu drugog reda. Također ćemo prezentirati neke od novih rezultata o rješavanju Sylvesterove jednadžbe.